數學研究適合今天嗎？其中任何一個都適用嗎？

讓我們談談 2007 年的金融危機和熱帶幾何。（我最初是通過 Quora 了解到這種聯系的，感謝回答[1]經過Vamsi Pritham Pingali.)

這場危機的確切原因很復雜，經濟學家會更好地描述。然而，發生的關鍵事情之一是美國的房價突然暴跌，帶走了由這些房屋的抵押貸款支持的任何金融工具（例如捆綁貸款組合）的價值。后一種影響不再只是美國的問題——它是整個全球金融市場的危機，因為銀行和其他金融機構突然發現自己瀕臨破產。

由此產生的問題之一是嚴重的信貸緊縮——從銀行獲得貸款變得更加困難。對此，政府可能的解決方案是購買高風險資產，例如上述抵押貸款支持證券，或以這些高風險資產作為抵押提供貸款。這將為銀行提供繼續提供貸款所需的資金。

2007年秋天，英格蘭銀行試圖實施這種解決方案：他們想以這類有毒資產作為抵押提供貸款。問題在于準確確定他們必須提供的費率；有許多不同的機構涉及許多不同種類的資產，因此不可能給出“一刀切”的定價類型。因此，銀行決定進行拍賣。在四次嘗試失敗后，當時的銀行行長聯系了牛津大學 Edgeworth 經濟學教授 Paul Klemperer，看看他是否可以設計一個有效的系統。重要的限制之一是這次拍賣必須有效快速地，只需幾分鐘——否則，對其中一些有毒資產的估值可能會影響市場對其他一些資產的估值。

這促使 Klemperer 教授發明了產品組合拍賣[2]，至今仍被英格蘭銀行廣泛使用[3]，并且也已在其他途徑中得到采用和擴展。此次拍賣背后的基本理論由 Paul Klemperer 和 Elizabeth Baldwin 在他們的合著論文中得到了適當的發展和概括分析需求的熱帶幾何學.

這是一個很好的介紹這個帳戶中的另一個大玩家：熱帶幾何[4].

熱帶幾何是一個非常年輕的數學領域，直到 1990 年代后期才真正鞏固，并且許多非常重要的工作始于 2000 年代。（如果你讀到這篇文章并心想“那不是年輕的——那是 20 年前的事！”，請考慮在學校里，你仍然在學習 2000 多年前發現的數學，除非你上大學，否則你不到 200 年前，我真的不會學到任何東西。在數學世界里，20 年是一閃而過。）我很偶然地遇到了它——當我在讀研究生時，山姆佩恩[5]在那里，他有一個相當強大的熱帶幾何組。當時我對代數幾何知之甚少（我仍然知之甚少，但當時我知道的更少）所以當時對我來說似乎是深奧的。然而，基本面其實并沒有那么難。

我們首先定義熱帶半環.作為一個集合，這是實數的集合[數學]\mathbb{R}[/math]， 和...一起[數學]-\infty[/數學].我們在這個集合上定義了兩個操作：

[數學]\begin{align*} x \oplus y &= \max\{x,y\} \\ x \otimes y &= x + y。\end{align*} \tag*{}[/math]

這些運算的行為與實數上加法和乘法的通常定義非常相似：

1. [數學]\oplus[/數學]和[數學]\otimes[/數學]是聯想的： 對所有人[數學]x,y,z[/數學]在[數學]\mathbb{R} \cup \{-\infty\}[/math],[數學]x \oplus (y \oplus z) = (x \oplus y) \oplus z[/math]和[數學]x \otimes (y \otimes z) = (x \otimes y) \otimes z[/math].
2. [數學]\oplus[/數學]和[數學]\otimes[/數學]有身份：[數學]-\infty[/數學]是加性恒等式和[數學]0[/數學]是乘法恒等式，也就是說對于所有[數學]x[/數學]在[數學]\mathbb{R} \cup \{-\infty\}[/math],[數學]x \oplus -\infty = -\infty \oplus x = x[/math]和[數學]x \otimes 0 = 0 \otimes x = x[/math].
3. [數學]\oplus[/數學]和[數學]\otimes[/數學]是可交換的： 對所有人[數學]x,y[/數學]在[數學]\mathbb{R} \cup \{-\infty\}[/math],[數學]x \oplus y = y \oplus x[/math]和[數學]x \otimes y = y \otimes x[/math].
4. [數學]\otimes[/數學]分發超過[數學]\oplus[/數學]： 對所有人[數學]x,y,z[/數學]在[數學]\mathbb{R} \cup \{-\infty\}[/math],[數學]x \otimes (y \oplus z) = (x \otimes y) \oplus (x \otimes z)[/math]和[數學](x \oplus y) \otimes z = (x \otimes z) \oplus (y \otimes z)[/math].

換句話說，熱帶半環是一個交換半環[6]，一個非常非常類似于交換環的對象[7]，但我們不堅持每個元素都應該有一個加性逆。（也就是說，對于任何[數學]x[/數學]，不需要存在[數學]y[/數學]以至于[數學]x \oplus y[/數學]是加性恒等式——確實，對于熱帶半環，很容易看出這樣的[數學]y[/數學]存在當且僅當[數學]x = -\infty[/數學].)

熱帶半環在計算機科學中自然出現——我之前實際上寫過關于它如何用于計算各種進程的等待時間[8].（好吧，從技術上講，我使用了分鐘那個答案中的熱帶半環，而不是最大限度我在這里使用的是熱帶半環，但兩者實際上是同構的，所以這并沒有太大區別。）“熱帶”一詞實際上是對居住在巴西的計算機科學家 Imre Simon 的致敬。

在代數幾何中，熱帶半環的使用方式略有不同。在經典代數幾何中，您可能會得到一個多項式，如[數學]y^3 + 4 x y + x^3 + x + 2[/數學]你可以通過考慮它的零集來研究它，在這種情況下是一條曲線。

更一般地說，這就是所謂的代數變體。幾何和代數之間存在著美妙的相互作用——學習一個可以洞察另一個，如果你定義一切都恰到好處，兩者之間就真的沒有任何區別了。在熱帶幾何中，您定義熱帶化這樣的代數變體。首先，您使用多項式并替換[數學]+[/數學]和[數學]\times[/數學]和[數學]\oplus[/數學]和[數學]\otimes[/數學].所以，在我們的例子中，我們有

[數學]\begin{align*} 4 xy + x^3 + x + 2 &= 4 \cdot x \cdot y + 1 \cdot x \cdot x \cdot x + 1\cdot x + 2 \\ &\rightquigarrow \max\left\{4 + x + y, 1 + 3x, 1 + x, 2\right\}。\end{align*} \tag*{}[/math]

現在，考慮所有無法區分的地方。

在左邊，我畫了熱帶曲線對應于[數學]4 x y + x^3 + x + 2[/數學];正是對應的熱帶函數無法微分的地方。這里還有幾個例子。第一，熱帶化[數學]y^3 + 5 x y + x^3 + 6 x^2 y + 3[/數學].

二、熱帶化[數學]6 x^3 + 5 x^2 y^2 + 4 y^2 + 3 y^3 + 2 y[/數學].

您可能會注意到熱帶曲線在許多方面比代數曲線簡單得多。令人驚奇的是：古典圖片和熱帶圖片之間實際上存在深刻的相互作用。您可以從熱帶化中學到很多關于曲線的信息，反之亦然。代數幾何中有很多很多定理都具有類似的性質；相反，有一些關于代數幾何的定理已經通過研究熱帶圖片得到了證明。

可愛——但這與拍賣或經濟學有什么關系？為了幫助回答這個問題，這里有一張來自 Baldwin 和 Klemperer 前述論文第 24 頁的圖表。

嗯，這肯定看起來很熟悉！這是 Baldwin 和 Klemperer 的基本見解：商品需求可以通過熱帶曲線來描述，您可以使用熱帶幾何的結果來更好地了解潛在的經濟學。直接引用他們論文的介紹：

經濟學家主要通過關注直接效用函數來考慮代理人的需求。相反，我們首先關注代理需要不同捆綁包的價格空間區域的幾何結構。我們的關鍵觀察是，以這種方式劃分價格空間精確地創建了幾何結構，這是在最近開發的、非歐幾里得的代數幾何分支中研究的，稱為“熱帶幾何”。因此，我們可以使用凸幾何和熱帶幾何的工具，例如代理人在價格空間中的需求幾何結構與同一代理人在數量空間中的需求之間的對偶性，以獲得關于需求的新見解。在價格空間和數量空間中需求的雙重表示之間來回移動可以提高我們對兩者的理解。

例如，在價格空間中匯總個人需求要容易得多，但將總需求轉換回數量空間允許一個強大的定理，該定理包含并擴展了許多關于何時存在競爭均衡的現有結果。

另一方面，如果我們從數量空間中的（直接）估值函數開始，我們將價格空間轉換為對偶的方法很快就會揭示需求的關鍵屬性。與使用傳統方法相比，使用我們的熱帶幾何視角可以更容易地理解需求理論中的許多現有結果，并且可以更有效地開發。

當然，這只是現代數學如何繼續推動物理學、計算機科學、經濟學、統計學和其他通常被認為更實用的研究領域的一個例子。我選擇這個特別的插圖是因為：a）它非常出乎意料，b）我以前很少寫過經濟學的應用，c）很難想象比一個有助于減少重大金融災難的負面影響。但我也可以寫一篇關于使用算術幾何來理解橢圓曲線之間的同構性的文章，以及如何將其視為現代密碼系統的抗量子替代的基礎。我可以寫關于如何使用辮子和代數拓撲為機器人設計更好的尋路方法，或者如何在計算化學和語言識別中開發應用類別理論，或者群體理論結果如何指向如何構建良好的計算機網絡（其實我已經有了[9][10][11]）。

所以不要試圖告訴我現代數學是無用的和深奧的。這顯然不是真的。

腳注

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